Bekenstein-(Hawking-) Entropie

Bereits in den Beiträgen über „Hawking-Strahlung“ sowie über „Die Schwarzen Löcher von CERN“ haben wir ein wenig mit der Bekenstein-Hawking-Entropie herumgerechnet und dabei hatte ich erwähnt, dass die Entropie schwarzer Löcher sowie im Prinzip auch deren Strahlung – zumindest anfänglich – weniger mit Hawking als vielmehr mit Bekenstein zu tun hatte. Doch was war dann konkret der Beitrag von Bekenstein und warum wird ihm heute die Entdeckung der Entropie schwarzer Löcher allenfalls nur partiell zugeschrieben?

Nun, Bekenstein gehörte zweifelsohne zu denjenigen Physikern, die den Informationsverlust nie ernsthaft in Erwägung gezogen haben. Das ganze Gebäude der theoretischen Physik stand für ihn – im Gegensatz zu Hawking – unerschüttert auf festen Fundamenten. Folglich musste der Informationsverlust eines Objektes, das ins schwarze Loch hineinfliegt, nirgendwo sonst als in diesem schwarzen Loch selbst eine wie auch immer geartete Kompensation erfahren.

Demzufolge stellte sich Bekenstein seinerzeit die Frage, wie sich denn die Entropie eines schwarzen Lochs verändert, wenn ein Objekt mit einem bestimmten Informationsgehalt in dieses hineinfliegt. Informationsgehalt versus Masse – das schien zunächst eher schwierig, aber Bekenstein hatte hier seinen ersten genialen Einfall, indem er ein Objekt betrachtete, dessen Informationsgehalt exakt ein Bit ➡ beträgt.

➡ Die Fragestellung glich somit der nach der Entropiezunahme in einem Wasserbecken, wenn man Wasser hinzugießt, insbesondere vielleicht nur einen Tropfen davon oder gar nur ein einzelnes Bit. Und man könnte sich neben der Zunahme an Entropie durchaus die Frage stellen, wie sich die „Geometrie“ von dem Zielobjekt verändert, hier der Wasserspiegel. Den Vergleich zu Archimedes und seinem legendären Eintauchen in die Badewanne mag man hier gerne ziehen – gleichwohl meinen manche, dass sein schreiendes Herausspringen aus der Badewanne weniger mit einer Entdeckung („εὕρηκα“) denn mit der hohen Temperatur des Wassers zu tun gehabt haben soll 😀
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Doch was kann denn das für ein Objekt (oder besser gesagt, Teilchen) sein, das genau ein Bit Information mit sich trägt? Ein Foton etwa? Wir wissen doch: Selbst ein Foton führt u.U. mehrere Bits an Information mit sich, also ist es hierfür doch ziemlich ungeeignet. Und hier kam der eigentlich geniale Einfall bei Bekenstein, indem er schlicht die Heisenbergsche Unschärferelation, insbesondere die Wellenlänge in Relation zur Verortung eines Fotons, bemühte. Denn hat die Wellenlänge die Größe vom Schwarzschildradius, so kann das Foton doch nur ein Bit an Information mit sich führen – etweder ist es im schwarzen Loch drinnen oder nicht 💡!

Die Energie eines solchen Fotons errechnet sich sofort aus der Einstein-Planck-Formel   und somit nimmt die Masse des schwarzen Lochs um den Wert    zu (immer noch: wenn genau ein Bit an Information in das schwarze Loch hineinfliegt), was wiederum bedeutet, dass der Schwarzschild-Radius um (größenordnungsmäßig)   zunimmt.

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